IMaPh : Vorlesungen WS 2000/01 SS 2000 WS 1999/00 SS 1999 WS 1998/99 Vorkurs Mathematik Grundlagen der QM Quantenfeldtheorie

• Inhalt: Auch nach 74 Jahren Quantenmechanik empfinden viele Physiker wichtige Züge dieser Theorie noch als paradox und unbefriedigend. Anderseits macht sich die Quanten-Informationstheorie daran, gerade diese paradoxen Aspekte auszunutzen und anzuwenden. In dieser Vorlesung sollen die traditionellen Ansätze zur Interpretation aufgenommen werden, und mit den modernen Entwicklungen zusammengeführt werden.

Vorläufige Gliederung der Vorlesung

• I. Einführung

  • I.1. Wiederholung: Grundstruktur der Quantenmechanik
    • Observable und Zustände, reine Zustände, extremale Effekte und extremale Observable
  • I.2. Interpretation
    • Was ist das? Irgendetwas zwischen Zuordnung von Wahrweitswerten zu den Variablen einer aussagenlogischen Formel und einer Gedichtinterpretation
    • Interpretation als Zuordnung von physikalischen Fakten zu mathematischen Aussagen
    • Früher Wiener Kreis: Es gelten nur beobachtete Fakten. (Scheitern am Problem der Theoretizität)
    • Beobachtbare Fakten und interpretierbare mathematische Terme
    • Konstruktion aus interpretierbaren Termen: Axiomatische Basis
    • Prinzipiell unbeobachtbare "Fakten"
  • I.3. Wahrscheinlichkeit
    • Häufigkeitsinterpretation vs. Subjektive Interpretation
    • Von Mises und De Finetti
    • Objektive Aspekte der subjektiven Interpretation: Rationalitäts-Forderungen an das Subjekt
    • Subjektiver Aspekt der Häufigkeits-Interpretation: die Entscheidung für die Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitstheorie im konkreten Fall
    • Was heisst "Wiederholen eines Experiments?": The same procedure as every year
  • I.4. Statistische Interpretation der Quantenmechanik
    • Zustände und Observable als Äquivalenzklassen von Mess- und Präparierverfahren bzgl. statistischer Unterscheidbarkeit
    • Klassische Wahrscheinlichkeitstheorie

• II. Verborgene Variablen?

  • II.1. Problemstellung
    • Kommt die quantenmechanische Statistik nur aus Unwissen?
    • Was geschieht eigentlich zwischen Präparation und Messung?
    • Kann man Aussagen darüber durch Messung überprüfen?
    • Definition: Klassische Modelle für quantenmechanische Zustände und Observable, speziell deterministische Modelle
  • II.2. Komplementarität: keine verborgenen Variablen innerhalb der QM
    • Gemeinsame Messungen in der Quantenmechanik
    • Gemeinsame Messbarkeit und Vertauschbarkeit
    • Die Unschärferelation als Einschränkung an approximative gemeinsame Messbarkeit von Ort und Impuls
  • II.3. Konstruktion klassischer Modelle
    • Sammeln statistischer Daten ist klassisch, also existieren solche Modelle
    • Konstruktion 1: "verborgene Variable = zu messende Werte"
    • Konstruktion 2: "verborgene Variable = Psi"
    • Konstruktion 3 (Bohm): "verborgene Variable = (Psi,x)"
    • Konstruktion 4 (Nelson): Bohm plus Diffusion
  • II.4. Das EPR-Argument und das Bellsche Theorem
    • Perfekt korrelierte Systeme: Manchmal kann man etwas über ein System lernen, ohne zu messen und zu stören
    • Einstein,Podolsky und Rosen: "Elemente der Realität"
    • Reichenbachs Prinzip der gemeinsamen Ursache zur Erklärung von Korrelationen
    • Speziell: Ansprechwahrscheinlichkeiten, konditioniert auf verborgene Variable; Bellscher Faktorisierungs-Ansatz
    • Äquivalent: Alices und Bobs Messergebnisse sind ("eigenständige") Zufallsvariable
    • Bellsche Ungleichungen in CHSH-Form (beta≤2)
    • Warum kann triviale Schranke beta=4 nicht erreicht werden?
    • Beweis über extremale gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilungen
    • Satz vom Bellschen Telefon: Gemeinsame Messbarkeit von Bobs Messapparaten und gemessene Verletzung der Ungleichungen würde Signalübertragung garantieren
  • II.5. Quantenmechanische Beschreibung von Korrelationsexperimenten
    • Tensorprodukt und Erwartungswerte in Korrelationsexperimenten
    • Lokalität (keine Signalübertragung) als Grundeigenschaft der quantenmechanischen Beschreibung
    • Ungleichung umgeschrieben auf Erwartungswert des Bell-Operators
    • Cirel'sonsche Ungleichung (Beweis durch Quadrieren des Bell-Operators)
    • Maximale Verletzung durch Singulett-Zustand (Beweis aus SU(2)-Invarianz)
    • Separierbare Zustände: keine Verletzung
  • II.6. Individuelle Zustände: Psi als verborgene Variable
    • Jedem Einzelsystem wird ein "Zustand" Psi zugeordnet, wie ein Punkt im Phasenraum einem klassischen Teilchen
    • Verbreitung dieser Auffassung von Kopenhagen bis heute
    • Dichtematrix versus Verteilung reiner Zustände
    • Nach Quantenmechanik unmögliche Maschine: der Mischungsanalysator
    • "Bauidee" für den Mischungsanalysator: nichtlineare Schrödingergleichung (Beweis aus Satz von Wigner)
    • Welches Psi kann man einem Subsystem zuordnen?
    • Konsequenz aus jeder angenommen gemeinsamen Verteilung der individuellen Variablen: separierbarer Zustand.
    • Bellsches Telephon auf der Basis eines hypothetischen Mischungsanalysators
    • Ausweg aus dem Dilemma: nur das Gesamtsystem ist ein ordentliches Quantensystem, d.h. nur dem Gesamtsystem darf man einen "Zustand" Psi zuordnen.
    • Konsequente Fortsetzung dieser Lösung: das Universum als einziges ordentliches Quantensystem
    • Übungsaufgabe: Man schreibe die Wellenfunktion des Universums auf (mit Musterlösung)
  • II.7. Bohmsche und Nelsonsche Trajektorien
    • Der Ort des Teilchens ist real, Psi ist bloss eine "Führungswelle"
    • Der Bohmsche Dämon: er sieht den Ort der Teilchen, aber auch nur diesen
    • Überlapp zwischen Bohmscher Mechanik und der Quantenmechanik: Verteilungen des Ortes zu einer Zeit. Zusätzlich sichtbar für die Quantenmechanik: Impuls, Spin, Energie, etc.
      Zusätzlich sichtbar für den Bohmsche Dämon: Vielzeitverteilungen, Trajektorieneigenschaften.
      mv ist nicht p
    • Notwendigkeit der indirekten Messung in der Bohmschen Mechanik:
      einerseits am gleichen Teilchen (Impuls aus asymptotischen Ort eines freien Teilchens, Stern-Gerlach-Filter),
      andererseits durch Ortsbestimmung am Messapparat (Zeigerstellung, Tintenflecke)
    • "Surreale Trajektorien": Der Bohmsche Dämon erblindet, wenn man ihm abverlangt, seine Erkenntnisse durch Wechselwirkung (z.B. nach Bohmscher Mechanik) zu gewinnen.
    • Einige Merkwürdigkeiten Bohmscher Trajektorien
    • Die Bohmsche Lösung für die Zuordnungen von Psi-Funktionen zu Teilsystemen: Konditioniere auf den Ort.
    • Nichtlokalität der Bohmschen Mechanik.
    • Verallgemeinerungen (Nelson und andere)

• III. Das Messproblem

  • III.1. Gilt die Quantenmechanik auch für makroskopische Systeme?
    z.B. Moleküle, Messapparate, Katzen, Kosmen
    • Messapparate hatten wir bisher nur als makroskopisch beschriebene Bestandteile von Experimenten betrachtet.
    • Bohr: Wir brauchen die Spache der klassischen Physik um unsere Ergebnisse mitzuteilen
    • Aber was ist, wenn wir den Messapparat auch quantenmechanisch beschreiben?
    • Das Unbehagen an der privilegierten Rolle der Messung:
      "Ist der Mond nicht da, ohne das jemand hinschaut?",
      Quantenkosmologie ohne Beobachter
    • Problem: Formalismus der Quantenmechanik enthält keine Entsprechung für "geschehene Ereignisse" jenseits der Regeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.
    • Katzen: Warum sehen wir eigentlich nie die kohärente Überlagerung makroskopisch verschiedener Zustände?
    • Analoge Frage: Warum sehen wir eigentlich nie den zeitumgekehrten Vorgang zum Streben ins Gleichgewicht?
    • Diese Fragen müssen zusammen behandelt werden! (Das nennt man Statistische Mechanik)
    • Antwort auf die Eingangsfrage: Die Quantenmechanik gilt, aber reicht allein nicht aus, um makroskopische Eigenschaften zu erklären. Man braucht zusätzlich: Auswahl makroskopischer Observablen und Zustände, Verständnis von Zeitskalen, Stabilität gegen unbekannte kleine Störungen der Dynamik (Ameise auf dem Sirius), evtl. Abstrahlung von Korrelationen in den Kosmos.
    • Diese Probleme beginnen schon bei Molekülen (siehe H. Primas).
      Keine Molekülstruktur ohne Born-Oppenheimer-Näherung, etc.
  • III.2. Der Zustand nach der Messung
    • Instrumente: formale Beschreibung, Heisenberg- und Schrödingerbild
    • Beispiel: Lüders/von Neumann- Messung
    • Charakterisierung durch Wiederholbarkeit (nicht: empirische Reproduzierbarkeit)
    • Kollaps der Wellenfunktion als Artefakt der Interpretation durch individuelle Zustände;
      Unterscheidung des Kollapses von der Veränderung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Selektion (Konditionierung)
    • Objektivierung nach Mittelstaedt, Fern-Objektivierung
    • Zeno's Paradoxon
    • Indirekte Messung in der Quantenmechanik
    • Heisenbergs Mikroskop: Experimente mit Delayed Choice
    • Dilatationssatz: alle Instrumente sind von dieser Form
    • Version mit Delayed Choice
    • Übungsaufgabe: Dilatation der idealen Messung
  • III.3. Der Heisenberg-von Neumannsche Schnitt
    • Wann wird eigentlich "objektiviert"?
    • Eine Kette: Elektron(Streuung)Photon(Mikroskop, Aufschlag auf Elektrode) Elektron(weitere Prozesse)viele Sekundärelektronen(Sammeln) Makroskopischer Strom (Anzeige,Glühdraht)Photonen(Aufschlag) Retina(Nervenreizleitung)Hirn des Experimentalphysikers(Leib-Seele-Wechselwirkung)Bewusstsein(Gespräch) Wigner's Freund
      Hier sind wir gerade
    • ParaPsichologie: z.B. "Collapse of the state vector and the Psychokinetic effect" (Helmut Schmidt)
  • III.4. Many Worlds

• IV. Axiomatik

  • IV.1. Konvexe Zustandsmenge, aber kein Simplex
  • IV.2. Aussagenverband, aber nicht Boolesch
  • IV.3. Observablenalgebra, aber nicht abelsch

• V. Interpretation konkret

  • "Welcher Operator beschreibt diese Messung hier?"
  • V.1. Kovariante Observable
    • Ort, speziell für Photonen
    • Phasenraum
    • Ankunftszeit, Auffang-Schirm
  • V.2. Das Verschieben des Schnitts als praktisches Problem
    • Ionisationszähler
    • Das Heppsche Modell
  • V.3. Die Haagsche Doktrin

• VI. Nicht-klassische Eigenschaften quantitativ

  • VI.1. Informationsgewinn vs. Störung
  • VI.2. Verschränktheit
  • VI.3. Kanalkapazität

Fragen oder Bemerkungen

Letzte Änderung: 04 Feb 2003

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